W8–W9. Подобные матрицы, комплексные векторы и матрицы, эрмитовы и унитарные матрицы

Автор

Salman Ahmadi-Asl

Дата публикации

13 марта 2026 г.

1. Краткое содержание

1.1 Подобные матрицы (similar matrices)

Диагонализуя матрицу \(A\) в виде \(A = PDP^{-1}\), мы выражаем \(A\) через более простую диагональную матрицу \(D\). Соотношение \(D = P^{-1}AP\) — частный случай гораздо более общего понятия: подобия (similarity). Две матрицы подобны, если они задают одно и то же линейное отображение, но записаны в разных координатах.

Определение (подобные матрицы): квадратные матрицы \(A\) и \(B\) размера \(n \times n\) называются подобными (similar), если существует обратимая матрица \(P\) такая, что

\[B = P^{-1}AP\]

Пишут \(A \sim B\). Матрица \(P\) называется матрицей перехода к другому базису (change of basis matrix) — она переводит координаты вектора из одного базиса в другой.

Геометрический смысл: если \(T\) — линейное отображение, а \(A\) и \(B\) — его матрицы в двух разных базисах, то \(A\) и \(B\) подобны. Матрица \(P\) как раз и переводит между двумя системами координат. Поэтому подобные матрицы могут «выглядеть по-разному», но описывают одну и ту же геометрию.

1.1.1 Инварианты при подобии (invariants under similarity)

У подобных матриц совпадает набор базовых величин, не меняющихся при замене базиса; их называют инвариантами (invariants) отношения подобия.

Теорема: если \(B = P^{-1}AP\), то:

Одинаковый определитель: \(\det(B) = \det(A)\)

Доказательство: \(\det(B) = \det(P^{-1}AP) = \det(P^{-1})\det(A)\det(P) = \dfrac{1}{\det(P)}\cdot\det(A)\cdot\det(P) = \det(A)\)
Одинаковый след: \(\text{tr}(B) = \text{tr}(A)\)

Доказательство: по циклическому свойству \(\text{tr}(XYZ) = \text{tr}(ZXY)\): \(\text{tr}(P^{-1}AP) = \text{tr}(APP^{-1}) = \text{tr}(A)\)
Одинаковый характеристический многочлен: \(\det(B - \lambda I) = \det(A - \lambda I)\)

Доказательство: \(\det(P^{-1}AP - \lambda I) = \det(P^{-1}(A - \lambda I)P) = \det(A - \lambda I)\)
Одинаковые собственные значения (с теми же алгебраическими кратностями): корни характеристических многочленов совпадают — значит, совпадают и собственные значения.

Важно: из совпадения спектров не следует подобие. Например, у \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) и \(B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) обеих собственное значение \(\lambda = 1\) кратности \(2\). Но \(A = I\) подобна только самой себе, поэтому \(A \not\sim B\). Для подобия нужно больше: совпадение собственных значений и геометрических кратностей для каждого из них.

1.1.2 Степени подобных матриц

Если \(B = P^{-1}AP\), то для любого натурального \(n\) матрица \(B^n\) подобна \(A^n\):

\[B^n = (P^{-1}AP)^n = P^{-1}A^nP\]

Идея доказательства: \((P^{-1}AP)(P^{-1}AP) = P^{-1}A(PP^{-1})AP = P^{-1}A^2P\); далее по индукции.

Главное применение: если \(A\) диагонализуема, \(A = PDP^{-1}\), то \[A^k = PD^kP^{-1}, \quad D^k = \text{diag}(\lambda_1^k,\, \lambda_2^k,\, \ldots,\, \lambda_n^k)\]

Так вычисление больших степеней матрицы становится практичным: вместо \(k\)-кратного умножения \(A\) на себя достаточно возвести в степень \(k\) каждое собственное значение на диагонали.

1.2 Поле комплексных чисел \(\mathbb{C}\) (complex field)

У вещественных матриц могут быть комплексные собственные значения (например, у матриц поворота). Чтобы полноценно с ними работать и гарантировать наличие собственных значений у любой матрицы, поле расширяют с \(\mathbb{R}\) до поля комплексных чисел (complex field) \(\mathbb{C}\).

Определение: комплексное число (complex number) имеет вид \(z = a + bi\), где

\(a = \text{Re}(z)\) — вещественная часть (real part);
\(b = \text{Im}(z)\) — мнимая часть (imaginary part);
\(i\) — мнимая единица (imaginary unit), \(i^2 = -1\).

Операции:

Сложение: \((a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
Умножение: \((a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\)
Сопряжение: \(\bar{z} = a - bi\) (меняется знак мнимой части)
Модуль: \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) («длина» \(z\) на комплексной плоскости)
Деление: \(\dfrac{z}{w} = \dfrac{z\bar{w}}{|w|^2}\) (умножение числителя и знаменателя на \(\bar{w}\))

Тригонометрическая и показательная формы (polar form): любое \(z\) можно записать как \[z = r\,e^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)\] где \(r = |z|\) — модуль, \(\theta = \arg(z)\) — аргумент. Это следует из формулы Эйлера (Euler’s formula): \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\).

В полярной форме степени считаются просто: \(z^n = r^n e^{in\theta}\).

Основные свойства комплексного сопряжения:

\(z + \bar{z} = 2\,\text{Re}(z)\) (всегда вещественно)
\(z - \bar{z} = 2i\,\text{Im}(z)\) (всегда чисто мнимое или ноль)
\(z\bar{z} = |z|^2\) (всегда неотрицательное вещественное число — ключевое свойство)
\(\overline{z_1 + z_2} = \bar{z}_1 + \bar{z}_2\) и \(\overline{z_1 z_2} = \bar{z}_1\,\bar{z}_2\)

Зачем линейной алгебре поле \(\mathbb{C}\): основная теорема алгебры (Fundamental Theorem of Algebra) утверждает, что над \(\mathbb{C}\) у любого многочлена степени \(n\) ровно \(n\) корней (с учётом кратности). Значит, у любой комплексной матрицы \(n \times n\) ровно \(n\) собственных значений (с учётом кратности). Напротив, у вещественной матрицы, скажем поворота на \(90^\circ\), \(\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\), нет вещественных собственных значений — а над \(\mathbb{C}\) у неё \(\lambda = \pm i\).

1.3 Комплексные векторы в \(\mathbb{C}^n\)

Рассматриваются векторы, координаты которых — комплексные числа.

Определение: комплексный вектор (complex vector) \(\mathbf{v} \in \mathbb{C}^n\) — упорядоченный набор из \(n\) комплексных чисел: \[\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}, \quad v_i \in \mathbb{C}\]

Базовые операции (сложение и умножение на скаляр \(\alpha \in \mathbb{C}\)) задаются покомпонентно, как в \(\mathbb{R}^n\).

1.3.1 Эрмитово скалярное произведение (Hermitian inner product)

В вещественном пространстве скалярное произведение задаётся как \(\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \mathbf{x}^T\mathbf{y} = \sum x_i y_i\). Можно ли так же определить его над \(\mathbb{C}\)?

Нет — вот почему. Возьмём \(\mathbf{x} = (1, i)^T \in \mathbb{C}^2\). «Наивная» формула даёт \[\sum x_i x_i = 1\cdot 1 + i\cdot i = 1 + i^2 = 0\]

У ненулевого вектора получилась бы «нулевая длина» — это бессмыслица: из-за \(i^2 = -1\) положительные вклады могут взаимно уничтожиться.

Исправление: в одном из аргументов брать комплексное сопряжение. Тогда вместо \(i^2 = -1\) получается \(|i|^2 = i\bar{i} = 1\), то есть неотрицательная величина.

Определение (эрмитово скалярное произведение): для \(\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{C}^n\) \[\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \mathbf{x}^H\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_i\,\overline{y_i}\]

где \(\mathbf{x}^H = \bar{\mathbf{x}}^T\) — сопряжённо-транспонированный (conjugate transpose) вектор-строка к \(\mathbf{x}\).

Замечание: в части учебников (и в физике) сопрягают первый аргумент: \(\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum \bar{x}_i y_i\). Обе договорённости допустимы; важна последовательность. Здесь используется соглашение лекции.

Почему это работает: \(\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle = \sum x_i\overline{x_i} = \sum |x_i|^2 \geq 0\), и равенство нулю только при \(\mathbf{x} = \mathbf{0}\).

Свойства эрмитова скалярного произведения:

Сопряжённая симметрия (conjugate symmetry): \(\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \overline{\langle \mathbf{y}, \mathbf{x} \rangle}\) (в отличие от вещественного случая это не просто \(\langle \mathbf{y}, \mathbf{x} \rangle\))
Линейность по первому аргументу: \(\langle \alpha\mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \alpha\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle\)
Сопряжённая линейность по второму: \(\langle \mathbf{x}, \alpha\mathbf{y} \rangle = \bar{\alpha}\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle\)
Положительная определённость: \(\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle \geq 0\), причём равенство нулю тогда и только тогда, когда \(\mathbf{x} = \mathbf{0}\)

Почему в комплексном случае нужна полуторалинейность (sesquilinearity), а не билинейность:

Есть и геометрическая причина. Естественно требовать, чтобы при умножении вектора на \(\alpha \in \mathbb{C}\) его длина масштабировалась коэффициентом \(|\alpha|\) (модулем), а не самим \(\alpha\): \[\|\alpha\mathbf{x}\|^2 = \langle \alpha\mathbf{x}, \alpha\mathbf{x} \rangle = |\alpha|^2\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle\]

Если бы произведение было билинейным, было бы \(\langle \alpha\mathbf{x}, \alpha\mathbf{x} \rangle = \alpha^2\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle\), а в общем случае \(|\alpha^2| \neq |\alpha|^2\) (например, \(\alpha = i\): \(\alpha^2 = -1\), \(|\alpha|^2 = 1\)). Поэтому один из аргументов делают сопряжённо-линейным: \(\langle \alpha\mathbf{x}, \alpha\mathbf{y} \rangle = \alpha\bar{\alpha}\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = |\alpha|^2\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle\). Такое скалярное произведение называют полуторалинейным (sesquilinear): линейно по одному аргументу, сопряжённо-линейно по другому.

Простейший случай — \(\mathbb{C}\) как одномерное пространство:

Даже для одного числа сопряжение — единственный естественный выбор: \(\langle z, w \rangle = z\bar{w}\) для \(z, w \in \mathbb{C}\). Тогда \(\langle z, z \rangle = z\bar{z} = |z|^2\) — вещественно и неотрицательно. Без сопряжения, \(\langle z, w \rangle = zw\), получилось бы \(\langle z, z \rangle = z^2\), не обязательно вещественное (при \(z = i\) это \(-1 < 0\)) — так нельзя задать квадрат длины.

Итог — что даёт сопряжение:

\(\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle\) вещественно и положительно при \(\mathbf{x} \neq \mathbf{0}\) (положительная определённость).
Индуцированная норма ведёт себя правильно: \(\|\alpha\mathbf{x}\| = |\alpha|\|\mathbf{x}\|\) для всех \(\alpha \in \mathbb{C}\).
Скалярное произведение согласовано с модулем на \(\mathbb{C}\): \(\langle z, z \rangle = |z|^2\).

Без сопряжения получилась бы билинейная форма (bilinear form) — полезная в отдельных алгебраических задачах, но без метрических свойств положительно определённого скалярного произведения.

1.3.2 Норма и ортогональность в \(\mathbb{C}^n\)

Определение (евклидова норма): норма (длина) \(\mathbf{v} \in \mathbb{C}^n\): \[\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle} = \sqrt{\sum_{i=1}^n |v_i|^2}\]

Для вещественного вектора это совпадает с привычной \(\sqrt{\sum v_i^2}\).

Определение (ортогональность): векторы \(\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{C}^n\) ортогональны (orthogonal), если \(\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 0\).

Неравенство Коши–Буняковского: для всех \(\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{C}^n\) \[|\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle| \leq \|\mathbf{x}\|\cdot\|\mathbf{y}\|\]

Процесс ортогонализации Грама–Шмидта (Gram–Schmidt) в \(\mathbb{C}^n\) тот же, но вместо стандартного скалярного произведения используется эрмитово.

1.4 Комплексные матрицы

Комплексная матрица (complex matrix) \(A \in \mathbb{C}^{m \times n}\) — матрица с элементами \(a_{ij} \in \mathbb{C}\). Сложение, умножение на скаляр и произведение матриц определяются так же, как для вещественных.

1.4.1 Сопряжённо-транспонированная матрица (conjugate transpose, Hermitian adjoint)

Главная новая операция для комплексных матриц — сопряжённое транспонирование (conjugate transpose), та же матрица называется эрмитово сопряжённой (Hermitian adjoint) к \(A\).

Определение: для \(A \in \mathbb{C}^{m \times n}\) матрица \(A^H \in \mathbb{C}^{n \times m}\) (обозначают и \(A^*\)) задаётся поэлементно: \[(A^H)_{ij} = \overline{A_{ji}}\]

Словами: сначала транспонировать (поменять строки и столбцы местами), затем сопрячь каждый элемент.

Для вещественной матрицы \(A^H = A^T\) (сопряжение вещественных чисел ничего не меняет).

Пример: пусть \(A = \begin{bmatrix} 1 & i & 2 \\ 1-i & 0 & 3i \end{bmatrix}\). Тогда \[A^H = \begin{bmatrix} 1 & \overline{1-i} \\ \overline{i} & 0 \\ \overline{2} & \overline{3i} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1+i \\ -i & 0 \\ 2 & -3i \end{bmatrix}\]

1.4.2 Свойства сопряжённого транспонирования

Для матриц \(A\), \(B\) подходящих размеров и \(\alpha \in \mathbb{C}\):

\((A^H)^H = A\)
\((A + B)^H = A^H + B^H\)
\((\alpha A)^H = \bar{\alpha}\,A^H\)
\((AB)^H = B^H A^H\) (правило «перестановки», как у обычного транспонирования)
\((A^{-1})^H = (A^H)^{-1}\) (если \(A\) обратима)
\(\langle A\mathbf{x},\,\mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x},\,A^H\mathbf{y} \rangle\) (ключевое тождество для скалярного произведения)

Последнее свойство фундаментально: \(A^H\) — единственная матрица, которая «переносится» с левой стороны скалярного произведения на правую. Поэтому \(A^H\) называют сопряжённым оператором (adjoint) к \(A\).

1.5 Эрмитовы матрицы (Hermitian matrices)

Комплексный аналог вещественной симметрической матрицы (\(A = A^T\)) — эрмитова матрица (Hermitian matrix).

Определение: квадратная комплексная матрица \(A \in \mathbb{C}^{n \times n}\) называется эрмитовой (Hermitian) (или самосопряжённой, self-adjoint), если \[A = A^H\]

Условие на элементах: \(a_{ij} = \overline{a_{ji}}\) для всех \(i,j\). Следствия:

Диагональ вещественна: \(a_{ii} = \overline{a_{ii}} \Rightarrow a_{ii} \in \mathbb{R}\)
Внедиагональные элементы идут сопряжёнными парами: \(a_{12} = \overline{a_{21}}\) и т.д.

Любая вещественная симметрическая матрица — частный случай эрмитовой (с нулевыми мнимыми частями).

Пример: \[H = \begin{bmatrix} 1 & 2 + i & 3 \\ 2 - i & 4 & i \\ 3 & -i & 0 \end{bmatrix}\]

Проверка: на диагонали \(1, 4, 0 \in \mathbb{R}\); \(h_{12} = 2+i = \overline{h_{21}} = \overline{2-i}\) ✓.

1.5.1 Спектральная теорема для эрмитовых матриц (Spectral Theorem)

У эрмитовых матриц три замечательных свойства спектра; вместе они составляют спектральную теорему (Spectral Theorem):

Теорема 1 — все собственные значения эрмитовой матрицы вещественны.

Доказательство: пусть \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\), \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\). Вычислим \(\langle \mathbf{v}, A\mathbf{v} \rangle\) двумя способами:

\[\langle \mathbf{v}, A\mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{v}, \lambda\mathbf{v} \rangle = \lambda\|\mathbf{v}\|^2\]

\[\langle \mathbf{v}, A\mathbf{v} \rangle = \langle A^H\mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = \langle A\mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = \overline{\langle \mathbf{v}, A\mathbf{v} \rangle} = \bar{\lambda}\|\mathbf{v}\|^2\]

Так как \(\|\mathbf{v}\|^2 > 0\), получаем \(\lambda = \bar{\lambda}\), то есть \(\lambda \in \mathbb{R}\). \(\square\)

Теорема 2 — собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям эрмитовой матрицы, ортогональны.

Доказательство: пусть \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\), \(A\mathbf{w} = \mu\mathbf{w}\), \(\lambda \neq \mu\) (оба вещественны). Сравним \(\langle A\mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle\) двумя способами:

\[\langle A\mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = \langle \lambda\mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = \bar{\lambda}\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = \lambda\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle \quad (\text{так как }\lambda\in\mathbb{R})\]

\[\langle A\mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = \langle \mathbf{v}, A^H\mathbf{w} \rangle = \langle \mathbf{v}, A\mathbf{w} \rangle = \mu\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle\]

Отсюда \((\lambda - \mu)\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = 0\). При \(\lambda \neq \mu\) имеем \(\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = 0\). \(\square\)

Теорема 3 (спектральная теорема) — любая эрмитова матрица унитарно диагонализуема.

Существуют унитарная матрица (unitary matrix) \(U\) (см. §1.6) и вещественная диагональная матрица \(\Lambda\) такие, что \[A = U\Lambda U^H\]

На диагонали \(\Lambda\) стоят (вещественные) собственные значения \(A\), столбцы \(U\) — ортонормированные собственные векторы.

Доказательство (индукция по \(n\)):

База: \(n = 1\). Эрмитова матрица \(1\times1\) — это число \(a \in \mathbb{R}\). Возьмём \(U = [1]\) и \(\Lambda = [a]\): тогда \(A = U\Lambda U^H\). \(\square\)

Шаг индукции: пусть утверждение верно для всех эрмитовых матриц размера \((n{-}1)\times(n{-}1)\). Пусть \(A \in \mathbb{C}^{n\times n}\) эрмитова.

Единичный собственный вектор. По теореме 1 у \(A\) есть хотя бы одно вещественное собственное значение \(\lambda_1\). Выберем соответствующий собственный вектор \(\mathbf{u}_1\) единичной длины (\(\|\mathbf{u}_1\| = 1\)).
Первая унитарная матрица. Дополним \(\{\mathbf{u}_1\}\) до ортонормированного базиса \(\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_n\}\) в \(\mathbb{C}^n\) (Грама–Шмидт). Положим \(U_1 = [\mathbf{u}_1 \; \mathbf{u}_2 \; \cdots \; \mathbf{u}_n]\) — унитарная матрица.
Блочное приведение. Элемент \((j,1)\) матрицы \(U_1^* A U_1\): \[(U_1^* A U_1)_{j1} = \mathbf{u}_j^* A\mathbf{u}_1 = \mathbf{u}_j^*(\lambda_1\mathbf{u}_1) = \lambda_1\langle \mathbf{u}_j, \mathbf{u}_1\rangle = \lambda_1\delta_{j1}\] Значит, первый столбец \(U_1^* A U_1\) равен \((\lambda_1, 0, \ldots, 0)^T\), а так как \(U_1^* A U_1\) эрмитова, первая строка тоже \((\lambda_1, 0, \ldots, 0)\): \[U_1^* A U_1 = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & & & \\ \vdots & & A_{n-1} & \\ 0 & & & \end{pmatrix}\] где \(A_{n-1}\) — эрмитова матрица \((n{-}1)\times(n{-}1)\).
Предположение индукции. По предположению индукции существует унитарная \(V\) размера \((n{-}1)\times(n{-}1)\) с \(V^* A_{n-1} V = \text{diag}(\lambda_2, \ldots, \lambda_n)\). Соберём блочно-диагональную унитарную матрицу \[U_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & V \end{pmatrix}\]
Сборка. Положим \(U = U_1 U_2\) (произведение унитарных унитарно). Тогда \[U^* A U = U_2^*(U_1^* A U_1)U_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & V^* \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & A_{n-1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & V \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & V^* A_{n-1} V \end{pmatrix} = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) = \Lambda\]

Итак, \(A = U\Lambda U^*\), индукция завершена. \(\square\)

1.6 Унитарные матрицы (unitary matrices)

Комплексный аналог вещественной ортогональной (\(Q^T = Q^{-1}\)) — унитарная матрица (unitary matrix).

Определение: квадратная матрица \(U \in \mathbb{C}^{n \times n}\) называется унитарной, если \[U^H U = U U^H = I \quad \Longleftrightarrow \quad U^{-1} = U^H\]

Структура: столбцы \(U\) образуют ортонормированный базис (orthonormal basis) в \(\mathbb{C}^n\) относительно эрмитова скалярного произведения: \[\langle \mathbf{u}_i, \mathbf{u}_j \rangle = \delta_{ij}\]

Аналогично строки \(U\) тоже образуют ортонормированный базис.

Пример: \(U = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{bmatrix}\) унитарна. Проверка:

\[U^H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & -i \\ -i & 1 \end{bmatrix}, \quad U^H U = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1+1 & -i+i \\ -i+i & 1+1 \end{bmatrix} = I \quad \checkmark\]

1.6.1 Свойства унитарных матриц

Свойство 1 (сохраняет скалярное произведение): \(\langle U\mathbf{x}, U\mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle\)

Доказательство: \((U\mathbf{x})^H(U\mathbf{y}) = \mathbf{x}^H U^H U \mathbf{y} = \mathbf{x}^H I \mathbf{y} = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle\). \(\square\)

Свойство 2 (сохраняет норму): \(\|U\mathbf{x}\| = \|\mathbf{x}\|\)

Доказательство: \(\|U\mathbf{x}\|^2 = \langle U\mathbf{x}, U\mathbf{x} \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle = \|\mathbf{x}\|^2\). \(\square\)

Геометрически унитарные отображения — изометрии (isometries): в комплексном пространстве это повороты и отражения без растяжения.

Свойство 3 (собственные значения на единичной окружности): для каждого собственного значения \(\lambda\) выполнено \(|\lambda| = 1\).

Доказательство: если \(U\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\), то \(\|U\mathbf{v}\| = |\lambda|\|\mathbf{v}\|\). По свойству 2 \(\|U\mathbf{v}\| = \|\mathbf{v}\|\). Так как \(\|\mathbf{v}\| \neq 0\), получаем \(|\lambda| = 1\). \(\square\)

Значит, \(\lambda = e^{i\theta}\) при некотором \(\theta \in \mathbb{R}\).

Свойство 4 (модуль определителя равен 1): \(|\det(U)| = 1\).

Доказательство: \(|\det(U)|^2 = \det(U)\cdot\overline{\det(U)} = \det(U)\cdot\det(U^H) = \det(UU^H) = \det(I) = 1\). \(\square\)

1.7 Четыре фундаментальных подпространства в комплексном случае

Для \(A \in \mathbb{C}^{m \times n}\) везде, где в вещественной теории был \(A^T\), в комплексном случае используют \(A^H\):

столбцовое пространство (column space) \(\mathcal{R}(A) \subset \mathbb{C}^m\)
левое ядро (left nullspace) \(\mathcal{N}(A^H) \subset \mathbb{C}^m\)
строковое пространство (row space) \(\mathcal{R}(A^H) \subset \mathbb{C}^n\)
ядро (nullspace) \(\mathcal{N}(A) \subset \mathbb{C}^n\)

Связь с ортогональностью: \[\mathcal{N}(A) = \mathcal{R}(A^H)^\perp \quad \text{и} \quad \mathcal{N}(A^H) = \mathcal{R}(A)^\perp\]

здесь ортогональность понимается в эрмитовом скалярном произведении \(\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \mathbf{x}^H\mathbf{y}\).

Отличие от вещественного случая: ядро \(\mathcal{N}(A)\) ортогонально \(\mathcal{R}(A^H)\), а не \(\mathcal{R}(A^T)\). Если вместо сопряжённого транспонирования взять обычное, ортогональные соотношения получатся неверными.

1.8 Собственные значения и диагонализация над \(\mathbb{C}\)

Собственные значения над \(\mathbb{C}\) всегда существуют: по основной теореме алгебры характеристический многочлен \(\det(A - \lambda I)\) степени \(n\) имеет ровно \(n\) комплексных корней. Значит, у любой комплексной матрицы \(n \times n\) есть хотя бы одно собственное значение.

Критерий диагонализуемости (такой же, как над \(\mathbb{R}\)): \(A\) диагонализуема тогда и только тогда, когда для каждого собственного значения алгебраическая кратность равна геометрической. Эквивалентно: у \(A\) есть \(n\) линейно независимых собственных векторов.

Нормальные матрицы (normal matrices): матрица \(A \in \mathbb{C}^{n \times n}\) называется нормальной (normal), если \[AA^H = A^H A\]

Именно нормальные матрицы унитарно диагонализуемы (unitarily diagonalizable): существуют унитарная \(U\) и диагональная \(\Lambda\) с \(A = U\Lambda U^H\).

И эрмитовы, и унитарные матрицы нормальны. Разложение \(A = U\Lambda U^H\) — комплексный аналог ортогональной диагонализации \(A = Q\Lambda Q^T\) для вещественных симметрических матриц.

1.9 Приложения

Комплексные матрицы и спектральная теория, с которой эта глава знакомит, постоянно встречаются в современной науке и инженерии.

Квантовая механика:

Состояния системы — единичные векторы в комплексном гильбертовом пространстве (в конечномерном случае — в \(\mathbb{C}^n\)).
Наблюдаемые (измеримые величины вроде энергии или спина) задаются эрмитовыми операторами (Hermitian operators). Их вещественные собственные значения — единственные результаты, которые может дать измерение: вещественность спектра здесь не «математическое украшение», а физическое требование.
Эволюция во времени описывается унитарным оператором (unitary operator) \(U(t) = e^{-iHt/\hbar}\), где \(H\) — эрмитов гамильтониан, \(\hbar\) — постоянная Планка. Унитарность гарантирует сохранение полной вероятности (квадрата нормы вектора состояния).

Обработка сигналов:

Матрица дискретного преобразования Фурье (Discrete Fourier Transform, DFT) \(F_n\) размера \(n\times n\) с элементами \((F_n)_{jk} = e^{-2\pi ijk/n}\) унитарна с точностью до масштаба (\(F_n^H F_n = nI\)). Её столбцы образуют ортогональный базис из комплексных экспонент.
Быстрое преобразование Фурье (Fast Fourier Transform, FFT) использует рекурсивную структуру \(F_n\), чтобы снизить число операций с \(O(n^2)\) до \(O(n\log n)\) и сделать возможной работу в реальном времени.

Теория управления:

Устойчивость непрерывной линейной системы \(\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}\) полностью определяется собственными значениями \(A\): асимптотическая устойчивость равносильна тому, что у всех собственных значений строго отрицательная вещественная часть. Комплексные \(\lambda = \sigma \pm i\omega\) соответствуют колебательному режиму с затуханием \(e^{\sigma t}\) и частотой \(\omega\).

Понятие	Поле \(\mathbb{R}\)	Поле \(\mathbb{C}\)
Векторное пространство	\(\mathbb{R}^n\)	\(\mathbb{C}^n\)
Скалярное произведение	\(\mathbf{x}^T\mathbf{y}\)	\(\mathbf{x}^H\mathbf{y} = \sum x_i\overline{y_i}\)
Норма	\(\sqrt{\sum x_i^2}\)	\(\sqrt{\sum \|x_i\|^2}\)
Аналог транспонирования	\(A^T\)	\(A^H\) (conjugate transpose)
Симметрическая матрица	\(A^T = A\)	Эрмитова: \(A^H = A\)
Ортогональная матрица	\(Q^T = Q^{-1}\)	Унитарная: \(U^H = U^{-1}\)
Спектральная теорема	\(A = Q\Lambda Q^T\)	\(A = U\Lambda U^H\)
Собственные значения «всегда есть»	Нет (только над \(\mathbb{R}\))	Да (над \(\mathbb{C}\) всегда)

2. Определения

Подобные матрицы (similar matrices): \(A \sim B\), если существует обратимая \(P\) с \(B = P^{-1}AP\); одно и то же линейное отображение в разных базисах.
Инварианты подобия (invariants of similarity): общие для всех подобных матриц — определитель, след, характеристический многочлен, собственные значения (с кратностями).
Комплексное число (complex number): \(z = a + bi\), \(a, b \in \mathbb{R}\), \(i^2 = -1\).
Комплексное сопряжение (complex conjugate): для \(z = a + bi\) число \(\bar{z} = a - bi\); ключевое свойство: \(z\bar{z} = |z|^2 \geq 0\).
Модуль комплексного числа: \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) — расстояние от \(z\) до \(0\) на комплексной плоскости.
Полярная форма (polar form): \(z = re^{i\theta}\), \(r = |z|\), \(\theta = \arg(z)\); из формулы Эйлера \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\).
Комплексный вектор: элемент \(\mathbb{C}^n\) — упорядоченный набор из \(n\) комплексных чисел.
Эрмитово скалярное произведение (Hermitian inner product): \(\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \mathbf{x}^H\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_i\overline{y_i}\); сопряжённая симметрия, линейность по первому аргументу, сопряжённая линейность по второму, положительная определённость.
Сопряжённый транспонат (conjugate transpose, Hermitian adjoint): для \(A \in \mathbb{C}^{m \times n}\) матрица \(A^H \in \mathbb{C}^{n \times m}\) с \((A^H)_{ij} = \overline{A_{ji}}\); обозначают и \(A^*\).
Эрмитова матрица (Hermitian matrix): \(A = A^H\); аналог вещественной симметрической; вещественный спектр, собственные векторы для различных \(\lambda\) ортогональны.
Унитарная матрица (unitary matrix): \(U^H U = I\) (эквивалентно \(U^{-1} = U^H\)); аналог ортогональной; сохраняет скалярное произведение и норму.
Нормальная матрица (normal matrix): \(AA^H = A^H A\); характеризация — унитарная диагонализуемость; эрмитовы и унитарные — нормальны.
Полуторалинейная форма (sesquilinear form): линейна по одному аргументу, сопряжённо-линейна по другому; эрмитово скалярное произведение — sesquilinear (в отличие от билинейного вещественного случая).
Унитарная диагонализация (unitary diagonalization): \(A = U\Lambda U^H\) с унитарной \(U\) и диагональной \(\Lambda\); для квадратных \(A\) над \(\mathbb{C}\) это возможно тогда и только тогда, когда \(A\) нормальна.

3. Формулы

Подобие: \(B = P^{-1}AP\) (при диагонализации часто \(D = P^{-1}AP\))
Инварианты: \(\det(B) = \det(A)\), \(\text{tr}(B) = \text{tr}(A)\), совпадают характеристический многочлен и собственные значения
Степени подобных: \((P^{-1}AP)^n = P^{-1}A^nP\)
Сопряжение: \(z + \bar{z} = 2\,\text{Re}(z)\); \(z - \bar{z} = 2i\,\text{Im}(z)\); \(z\bar{z} = |z|^2\)
Полярная форма: \(z = re^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)\), \(r = |z|\), \(\theta = \arg(z)\)
Степень в полярных координатах: \(z^n = r^n e^{in\theta}\)
Эрмитово скалярное произведение: \(\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \mathbf{x}^H\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_i\overline{y_i}\)
Сопряжённая симметрия: \(\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \overline{\langle \mathbf{y}, \mathbf{x} \rangle}\)
Норма в \(\mathbb{C}^n\): \(\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle \mathbf{v},\mathbf{v} \rangle} = \sqrt{\sum_{i=1}^n |v_i|^2}\)
Коши–Буняковский: \(|\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle| \leq \|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|\)
Сопряжённый транспонат: \((A^H)_{ij} = \overline{A_{ji}}\); \((A^H)^H = A\), \((AB)^H = B^H A^H\), \((\alpha A)^H = \bar{\alpha}A^H\)
Тождество для сопряжённого: \(\langle A\mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x}, A^H\mathbf{y} \rangle\)
Эрмитовость: \(A = A^H\) (диагональ вещественна, \(a_{ij} = \overline{a_{ji}}\))
Унитарность: \(U^H U = U U^H = I\) (\(U^{-1} = U^H\))
Унитарная диагонализация (спектральная теорема): \(A = U\Lambda U^H\) (эрмитовы и все нормальные)
Нормальность: \(AA^H = A^H A\)
Спектр эрмитовой матрицы: \(\lambda \in \mathbb{R}\) (\(\lambda = \bar{\lambda}\))
Спектр унитарной: \(|\lambda| = 1\) (на единичной окружности)
Определитель унитарной: \(|\det(U)| = 1\)
Ортогональность в комплексном случае: \(\mathcal{N}(A) \perp \mathcal{R}(A^H)\) (не \(\mathcal{R}(A^T)\))

4. Примеры

4.1. Арифметика в \(\mathbb{C}\) (Лаба 7, Задание 1)

Для каждой пары комплексных чисел найдите сумму и произведение: (a) \(2+i\) и \(2-i\) (b) \(-1+i\) и \(-1+i\) (c) \(\cos\theta + i\sin\theta\) и \(\cos\theta - i\sin\theta\)

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: стандартные правила: \((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\) и \((a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\).

(a) \((2+i)+(2-i)=4\); \((2+i)(2-i)=4+1=5\)

(b) \((-1+i)+(-1+i)=-2+2i\); \((-1+i)^2=1-2i-1=-2i\)

(c) \((\cos\theta+i\sin\theta)+(\cos\theta-i\sin\theta)=2\cos\theta\); \((\cos\theta+i\sin\theta)(\cos\theta-i\sin\theta)=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)

Ответ: (a) сумма \(4\), произведение \(5\); (b) сумма \(-2+2i\), произведение \(-2i\); (c) сумма \(2\cos\theta\), произведение \(1\).

4.2. Свойства комплексного сопряжения (Лаба 7, Задание 2)

Дополните фразы. Пусть \(z = a + ib\): (a) \(z + \bar{z}\) всегда … (b) \(z - \bar{z}\) всегда … (c) \(z \cdot \bar{z}\) равно … (d) \(\dfrac{z}{\bar{z}}\) (при \(\bar{z} \neq 0\)) всегда имеет модуль …

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: \(\bar{z} = a - ib\), откуда сразу видно вещественность или чистую мнимость.

(a) \(z + \bar{z} = 2a\) — всегда вещественно.

(b) \(z - \bar{z} = 2bi\) — всегда чисто мнимое (либо ноль).

(c) \(z\bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2\) — квадрат модуля (вещественно, \(\geq 0\)).

(d) \(\left|\dfrac{z}{\bar{z}}\right| = \dfrac{|z|}{|\bar{z}|} = 1\) — модуль всегда равен \(1\).

Ответ: (a) вещественное; (b) чисто мнимое; (c) \(|z|^2 = a^2+b^2\); (d) \(1\).

4.3. Нормы и эрмитово скалярное произведение (Лаба 7, Задание 3)

Найдите длины (нормы) \(u, v \in \mathbb{C}^3\) и вычислите \(u^H v\) и \(v^H u\): \[u = \begin{pmatrix} 1+i \\ 1-i \\ 1+2i \end{pmatrix}, \quad v = \begin{pmatrix} i \\ i \\ i \end{pmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: \(\|w\|^2 = w^H w = \sum |w_k|^2\); эрмитово произведение \(u^H v = \sum \bar{u}_k v_k\).

Норма \(u\): \(\|u\|^2 = |1+i|^2 + |1-i|^2 + |1+2i|^2 = 2 + 2 + 5 = 9\), значит \(\|u\| = 3\).
Норма \(v\): \(\|v\|^2 = |i|^2 \cdot 3 = 3\), значит \(\|v\| = \sqrt{3}\).
\(u^H v\): \(\bar{u}^T v = (1-i)(i) + (1+i)(i) + (1-2i)(i) = (i+1) + (i-1) + (i+2) = 3i+2\).
\(v^H u\): это сопряжение к \(u^H v\): \(\overline{2+3i} = 2-3i\).

Ответ: \(\|u\|=3\), \(\|v\|=\sqrt{3}\), \(u^H v = 2+3i\), \(v^H u = 2-3i\).

4.4. Свойства комплексной матрицы (Лаба 7, Задание 4)

Классифицируйте матрицу \(P\) (эрмитова? унитарна? обратима?): \[P = \begin{pmatrix} 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & i \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}\] Вычислите \(P^2\), \(P^3\) и \(P^{100}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: унитарность — \(P^H P = I\); эрмитовость — \(P^H = P\).

\(P^H\): \(P^H = \begin{pmatrix}0&0&-i\\-i&0&0\\0&-i&0\end{pmatrix}\). Так как \(P^H \neq P\), матрица не эрмитова. Столбцы \(P\) ортонормированы в эрмитовом скалярном произведении, значит \(P^H P = I\) — \(P\) унитарна (следовательно, обратима).
\(P^2\): \[P^2 = \begin{pmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}\]
\(P^3\): запишем \(P = iQ\), где \(Q = \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}\) — циклическая перестановка. Тогда \(Q^3 = I\), поэтому \[P^3 = (iQ)^3 = i^3 Q^3 = -i\,I\]
\(P^{100}\): имеем \(P^6 = (-iI)^2 = -I\), \(P^{12} = I\). Так как \(100 = 12\cdot8 + 4\), \[P^{100} = P^4 = P^3 P = (-iI) P = -iP\]

Ответ: \(P\) унитарна, не эрмитова, обратима; \(P^2\) как выше, \(P^3 = -iI\), \(P^{100} = -iP\).

4.5. Диагонализация и формула для \(B^k\) (Лаба 7, Задание 5)

Диагонализуйте \(B = \begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}\) и докажите \[B^k = \begin{pmatrix}3^k & 3^k-2^k \\ 0 & 2^k\end{pmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: у верхнетреугольной матрицы собственные значения — диагональ; \(B^k = S\Lambda^k S^{-1}\).

Собственные значения: \(\lambda_1=3\), \(\lambda_2=2\).
Собственные векторы:
- \(\lambda_1=3\): \((B-3I)\mathbf{v}=0 \Rightarrow \mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)
- \(\lambda_2=2\): \((B-2I)\mathbf{v}=0 \Rightarrow \begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\mathbf{v}=0 \Rightarrow \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\)
\(S=\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}\), \(S^{-1}=\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}\), \(\Lambda=\begin{pmatrix}3&0\\0&2\end{pmatrix}\).
\(B^k = S\Lambda^k S^{-1} = \begin{pmatrix}3^k&3^k-2^k\\0&2^k\end{pmatrix}\) ✓

Ответ: формула для \(B^k\) подтверждена.

4.6. Построение матрицы по спектру (Лаба 7, Задание 6)

Подберите вторую строку \(A = \begin{pmatrix}1&1\\\square&\square\end{pmatrix}\) так, чтобы собственные значения были \(4\) и \(7\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: след и определитель: \(\lambda_1+\lambda_2 = \text{tr}(A)\), \(\lambda_1\lambda_2 = \det(A)\).

След: \(\text{tr}(A) = 1 + a_{22} = 4+7=11\), откуда \(a_{22}=10\).
Определитель: \(\det(A) = 1\cdot10 - 1\cdot a_{21} = 4\cdot7=28\), значит \(a_{21} = -18\).

Ответ: \(A = \begin{pmatrix}1&1\\-18&10\end{pmatrix}\).

4.7. Восстановление матрицы по собственным данным (Лаба 7, Задание 7)

Найдите матрицу \(A\) с собственными значениями \(\lambda_1=1\), \(\lambda_2=4\) и собственными векторами \((3,1)^T\) и \((2,1)^T\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: \(A = S\Lambda S^{-1}\), столбцы \(S\) — собственные векторы, на диагонали \(\Lambda\) — собственные значения.

\(S = \begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}\), \(\Lambda = \begin{bmatrix}1&0\\0&4\end{bmatrix}\), \(S^{-1} = \begin{bmatrix}1&-2\\-1&3\end{bmatrix}\).
\(A = S\Lambda S^{-1} = \begin{bmatrix}-5&18\\-3&10\end{bmatrix}\).

Ответ: \(A = \begin{bmatrix}-5&18\\-3&10\end{bmatrix}\).

4.8. Полярная форма комплексного числа (Лаба 7, Задание 8)

Пусть \(x = re^{i\theta}\). Запишите \(x^2\), \(x^{-1}\) и \(\bar{x}\) в полярной форме. На какой геометрической кривой лежат числа, для которых \(x^{-1} = \bar{x}\)?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: при \(re^{i\theta}\) модуль при возведении в степень умножается, аргументы складываются.

\(x^2 = r^2 e^{i2\theta}\)
\(x^{-1} = \frac{1}{r}e^{-i\theta}\)
\(\bar{x} = re^{-i\theta}\)
Условие \(x^{-1} = \bar{x}\): \(\frac{1}{r}e^{-i\theta} = re^{-i\theta}\), откуда \(r^2=1\), \(r>0\) даёт \(r = 1\). Это единичная окружность \(|x|=1\).

Ответ: \(x^2=r^2e^{2i\theta}\), \(x^{-1}=\frac{1}{r}e^{-i\theta}\), \(\bar{x}=re^{-i\theta}\); условие \(x^{-1}=\bar{x}\) задаёт \(|x|=1\).

4.9. Сопряжённый транспонат и \(A^H A\) (Лаба 7, Задание 9)

Для \(A = \begin{bmatrix}1&i&0\\i&0&1\end{bmatrix}\) найдите \(A^H\) и \(C = A^H A\). Как связаны \(C\) и \(C^H\)?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: \(A^H = \overline{A}^T\); матрица \(A^H A\) всегда эрмитова: \((A^H A)^H = A^H A\).

\(A^H = \begin{bmatrix}1&-i\\-i&0\\0&1\end{bmatrix}\)
\(C = A^H A = \begin{bmatrix}2&i&-i\\-i&1&0\\i&0&1\end{bmatrix}\)
\(C^H = C\).

Ответ: \(A^H\) и \(C\) как выше; \(C\) эрмитова.

4.10. Ядро и ортогональность в комплексном случае (Лаба 7, Задание 10)

Для \(A = \begin{bmatrix}1&i&0\\i&0&1\end{bmatrix}\): (a) решите \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) методом Гаусса; (b) покажите, что \(\mathcal{N}(A)\) ортогонально \(\mathcal{R}(A^H)\), но не обязано быть ортогонально \(\mathcal{R}(A^T)\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: в комплексной теории четыре подпространства строят через \(A^H\), а не через \(A^T\).

(a) Приведение строк: \[\begin{bmatrix}1&i&0\\i&0&1\end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 - iR_1} \begin{bmatrix}1&i&0\\0&1&1\end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 - iR_2} \begin{bmatrix}1&0&-i\\0&1&1\end{bmatrix}\] Свободная переменная \(x_3 = t\): \(x_1 = it\), \(x_2 = -t\). Ядро: \(\mathbf{n} = t\begin{pmatrix}i\\-1\\1\end{pmatrix}\).

(b) Столбцы \(A^H\): \(\mathbf{c}_1=\begin{pmatrix}1\\-i\\0\end{pmatrix}\), \(\mathbf{c}_2=\begin{pmatrix}-i\\0\\1\end{pmatrix}\). Прямая проверка: \(\mathbf{n}^H\mathbf{c}_1 = \bar{t}\bigl((-i)\cdot 1 + (-1)(-i) + 1\cdot 0\bigr)=0\), аналогично \(\mathbf{n}^H\mathbf{c}_2=0\), значит \(\mathbf{n}\perp \mathcal{R}(A^H)\). Общее соотношение: если \(A\mathbf{n}=\mathbf{0}\), то для любого \(\mathbf{y}\) имеем \((A^H\mathbf{y})^H\mathbf{n} = \mathbf{y}^H A\mathbf{n} = 0\), то есть \(\mathcal{N}(A)\perp \mathcal{R}(A^H)\). Замена \(A^H\) на \(A^T\) даёт уже другой «ортогональный комплемент» в \(\mathbb{C}^n\).

Ответ: \(\mathcal{N}(A) = \text{span}\left\{\begin{pmatrix}i\\-1\\1\end{pmatrix}\right\}\); ортогональность к \(\mathcal{R}(A^H)\) следует из \(A\mathbf{n}=\mathbf{0}\).

4.11. Подобие матриц (Лаба 7, Задание 11)

Докажите подобие следующих пар матриц, явно указав обратимую \(M\) с \(B = M^{-1}AM\):

(a) \(A = \begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}\), \(B = \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\)

(b) \(A = \begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}\), \(B = \begin{bmatrix}1&-1\\-1&1\end{bmatrix}\)

(c) \(A = \begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\), \(B = \begin{bmatrix}4&3\\2&1\end{bmatrix}\)

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: \(B = M^{-1}AM\) эквивалентно \(MA = MB\) при обратимом \(M\); у подобных матриц совпадают инварианты.

(a) Общий спектр \(\{0,1\}\). Подходит \(M=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\): \(M^{-1}AM = B\) ✓

(b) Спектр \(\{0,2\}\). Подходит \(M = \begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\): \(M^{-1}=M\), \(MAM = \begin{bmatrix}1&-1\\-1&1\end{bmatrix}\) ✓

(c) Здесь \(B = A^T\). Матрица перестановки строк \(M = \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\) даёт \(M^{-1}AM = A^T = B\) ✓

Ответ: (a) \(M=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\); (b) \(M=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\); (c) \(M=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\).

4.12. Подобны ли пары матриц? (Домашнее задание 7, Задание 1.1)

Для каждой пары матриц установите, подобны ли они; обоснуйте ответ.

(a) \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)

(b) \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

(c) \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: подобие — найти обратимую \(M\) с \(MA = BM\); неподобие — показать, что такой \(M\) не существует.

(a) \(A \sim B\): из \(MA = BM\) для \(M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) получаем \(a = 0\), \(c = b\). Возьмём \(b = 1\), \(d = 0\): \(M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\), \(\det(M) = -1 \neq 0\).

Проверка: \(MA = BM = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\) ✓.

(b) \(A \sim B\): у обеих матриц \(\lambda = 1, 3\) (простые). Матрица с простым спектром диагонализуема; две диагонализуемые с одинаковым набором собственных значений подобны одной и той же диагональной, значит, подобны друг другу. Подходит \(M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\) (\(\det M = -1\)), \(MA = BM\) ✓.

(c) \(A \not\sim B\): \(B = I\) подобна только себе: \(P^{-1}IP = I \neq A\). Иначе: \(MA = BM = M\) влечёт \(M(A-I)=0\); при \(A-I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\neq 0\) любая такая \(M\) вырождена.

Ответ: (a) подобны, \(M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\); (b) подобны, \(M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\); (c) не подобны.

4.13. Инварианты подобных матриц (Домашнее задание 7, Задание 1.2)

Пусть \(B = P^{-1}AP\) для некоторой обратимой \(P\). Докажите:

(a) \(\det(A) = \det(B)\)

(b) \(\text{tr}(A) = \text{tr}(B)\)

(c) у \(A\) и \(B\) совпадает характеристический многочлен

(d) у \(A\) и \(B\) совпадают собственные значения с теми же кратностями

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a) \(\det(B) = \det(P^{-1})\det(A)\det(P) = \det(A)\). \(\square\)

(b) \(\text{tr}(P^{-1}AP) = \text{tr}(APP^{-1}) = \text{tr}(A)\) (цикличность следа). \(\square\)

(c) \(\det(B - \lambda I) = \det(P^{-1}(A-\lambda I)P) = \det(A - \lambda I)\). \(\square\)

(d) Собственные значения — корни характеристического многочлена; по (c) многочлены совпадают, значит, совпадают корни и кратности. \(\square\)

Ответ: все четыре пункта — из мультипликативности \(\det\) и цикличности \(\text{tr}\).

4.14. Диагонализация матрицы \(3 \times 3\) (Домашнее задание 7, Задание 1.3)

Найдите матрицу \(P\), диагонализующую \(A\), и убедитесь, что \(P^{-1}AP\) диагональна: \[A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

Единственна ли такая диагонализация?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Шаг 1: собственные значения.

\[\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)^2(1-\lambda) = 0\]

\(\lambda = 2\) (кратность \(2\)) и \(\lambda = 1\) (кратность \(1\)).

Шаг 2: \(\lambda = 2\).

\[A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \implies x_1 + x_3 = 0,\; x_2\text{ свободна}\]

Базис: \(\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Геометрическая кратность \(2\) = алгебраической ✓.

Шаг 3: \(\lambda = 1\).

\[A - I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \implies x_1 = 0,\; x_2 = -x_3\]

\(\mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Итог:

\[P = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

Не единственна: любая нетривиальная линейная комбинация \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\) снова собственный вектор для \(\lambda=2\), откуда бесконечно много допустимых \(P\).

Ответ: \(P\) и \(D\) как выше; диагонализация не единственна.

4.15. Вычисление \(A^{10}\) через диагонализацию (Домашнее задание 7, Задание 1.4)

Докажите: если \(A \sim B\), то \(A^n \sim B^n\). Вычислите \(A^{10}\) для \(A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Доказательство: при \(B = P^{-1}AP\) имеем \(B^n = (P^{-1}AP)^n = P^{-1}A^nP\) (сокращения \(P^{-1}P\)). \(\square\)

Диагонализация \(A\): \(\det(A-\lambda I) = (\lambda-1)(\lambda-2)\).

\(\lambda_1 = 1\): \(\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\); \(\lambda_2 = 2\): \(\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\).

\[P = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\]

\[A^{10} = PD^{10}P^{-1} = \begin{pmatrix} 3070 & 3069 \\ -2046 & -2045 \end{pmatrix}\]

Ответ: матрица \(A^{10}\) как выше.

4.16. Все собственные значения и векторы (Домашнее задание 7, Задание 2.1)

Найдите все собственные значения и собственные векторы:

(a) \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\), (b) \(B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\), (c) \(C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}\)

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a) \(\det(A-\lambda I) = (\lambda-4)(\lambda-2) = 0 \Rightarrow \lambda = 4, 2\).

\(\lambda=4\): \(\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\). \(\lambda=2\): \(\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\).

(b) \(\det(B-\lambda I) = (2-\lambda)^2 + 1 = 0 \Rightarrow \lambda = 2 \pm i\).

\(\lambda=2+i\): \(\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}\); \(\lambda=2-i\): \(\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}\).

(c) Верхнетреугольная: \(\lambda_1=1\), \(\lambda_2=2\), \(\lambda_3=3\).

\(\lambda=1\): \(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\); \(\lambda=2\): \(\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\); \(\lambda=3\): \(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\).

Ответ: (a) \(\lambda=4\): \((1,1)^T\); \(\lambda=2\): \((1,-1)^T\); (b) \(\lambda=2\pm i\): \((1,\mp i)^T\); (c) как выше.

4.17. Верно или нет: свойства собственных значений (Домашнее задание 7, Задание 2.2)

Верно или нет (докажите или приведите контрпример):

(a) У любой квадратной матрицы есть хотя бы одно вещественное собственное значение.

(b) Сумма двух собственных векторов всегда снова собственный вектор.

(c) Если \(\lambda\) — собственное значение \(A\), то \(\lambda^2\) — собственное значение \(A^2\).

(d) У \(A\) и \(A^T\) всегда совпадают собственные значения.

(e) Если \(A\) обратима, собственные значения \(A^{-1}\) — величины, обратные к собственным значениям \(A\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a) Неверно. Контрпример: \(R = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\), характеристический многочлен \(\lambda^2+1\) без вещественных корней.

(b) Неверно. Если \(A\mathbf{v}_1=\lambda_1\mathbf{v}_1\), \(A\mathbf{v}_2=\lambda_2\mathbf{v}_2\), \(\lambda_1\neq\lambda_2\), то \(A(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2\) не обязано быть кратным \(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2\).

(c) Верно. \(A^2\mathbf{v}=\lambda^2\mathbf{v}\). \(\square\)

(d) Верно. \(\det(A^T-\lambda I)=\det(A-\lambda I)\) — один характеристический многочлен. \(\square\)

(e) Верно. Из \(A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\) следует \(A^{-1}\mathbf{v}=\lambda^{-1}\mathbf{v}\) при \(\lambda\neq 0\). \(\square\)

Ответ: (a) нет, (b) нет, (c)–(e) да.

4.18. Степени и многочлены от матрицы (Домашнее задание 7, Задание 2.3)

Пусть \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\), \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\). Докажите:

(a) \(\mathbf{v}\) — собственный вектор \(A^2\) с собственным значением \(\lambda^2\).

(b) \(\mathbf{v}\) — собственный вектор \(A^k\) с собственным значением \(\lambda^k\).

(c) для любого многочлена \(p\) вектор \(\mathbf{v}\) — собственный для \(p(A)\) с собственным значением \(p(\lambda)\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a) \(A^2\mathbf{v} = \lambda^2\mathbf{v}\). \(\square\)

(b) по индукции: \(A^{k+1}\mathbf{v}=\lambda^{k+1}\mathbf{v}\). \(\square\)

(c) при \(p(t)=\sum a_j t^j\): \[p(A)\mathbf{v} = \sum_j a_j \lambda^j\mathbf{v} = p(\lambda)\mathbf{v} \quad \square\]

Это теорема о спектральном отображении (Spectral Mapping Theorem) для многочленов.

4.19. Спектральное разложение и вычисление \(A\mathbf{u}\) (Домашнее задание 7, Задание 2.4)

Матрица \(A\) размера \(3\times3\) имеет собственные значения \(\lambda_1=1\), \(\lambda_2=2\), \(\lambda_3=3\) и собственные векторы \(\mathbf{v}_1\), \(\mathbf{v}_2\), \(\mathbf{v}_3\).

(a) Найдите \(A\mathbf{v}_1\), \(A\mathbf{v}_2\), \(A\mathbf{v}_3\). (b) Найдите \(A^2\mathbf{v}_1\). (c) Если \(\mathbf{u}=2\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2+3\mathbf{v}_3\), найдите \(A\mathbf{u}\). (d) В каком базисе \(A\) диагональна?

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a) \(A\mathbf{v}_1=\mathbf{v}_1\), \(A\mathbf{v}_2=2\mathbf{v}_2\), \(A\mathbf{v}_3=3\mathbf{v}_3\).

(b) \(A^2\mathbf{v}_1=\mathbf{v}_1\).

(c) \(A\mathbf{u}=2\mathbf{v}_1-2\mathbf{v}_2+9\mathbf{v}_3\).

(d) базис \(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\); \(D=\text{diag}(1,2,3)\).

4.20. Операции с комплексными векторами (Домашнее задание 7, Задание 3.1)

Пусть \(\mathbf{u}=\begin{pmatrix}1+i\\2-i\\3i\end{pmatrix}\), \(\mathbf{v}=\begin{pmatrix}2\\1-i\\1+2i\end{pmatrix}\), \(\mathbf{w}=\begin{pmatrix}i\\1\\-i\end{pmatrix}\).

(a) Вычислите \(\mathbf{u}+\mathbf{v}\), \(\mathbf{u}-\mathbf{w}\), \(2\mathbf{u}-3\mathbf{v}\). (b) \(\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=\mathbf{u}^H\mathbf{v}\). (c) \(\langle\mathbf{v},\mathbf{u}\rangle\) и сравните с (b). (d) \(\|\mathbf{u}\|\), \(\|\mathbf{v}\|\), \(\|\mathbf{w}\|\). (e) Проверьте неравенство Коши–Буняковского для \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a)

\[\mathbf{u}+\mathbf{v}=\begin{pmatrix}3+i\\3-2i\\1+5i\end{pmatrix},\quad \mathbf{u}-\mathbf{w}=\begin{pmatrix}1\\1-i\\4i\end{pmatrix},\quad 2\mathbf{u}-3\mathbf{v}=\begin{pmatrix}-4+2i\\1+i\\-3\end{pmatrix}\]

(b) \(\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=11-6i\).

(c) \(\langle\mathbf{v},\mathbf{u}\rangle=\overline{\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle}=11+6i\) — сопряжённая симметрия.

(d) \(\|\mathbf{u}\|=4\), \(\|\mathbf{v}\|=\sqrt{11}\), \(\|\mathbf{w}\|=\sqrt{3}\).

(e) \(|\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle|=\sqrt{157}\leq 4\sqrt{11}=\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\) ✓.

4.21. Спектр комплексных матриц (Домашнее задание 7, Задание 3.2)

Найдите все собственные значения и векторы:

(a) \(A=\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}\), (b) \(B=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}\) (в \(\mathbb{C}\)), (c) \(C=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a) \(\lambda=0,2\); \(A\) эрмитова, спектр вещественен.

\(\lambda=0\): \(\begin{pmatrix}i\\-1\end{pmatrix}\); \(\lambda=2\): \(\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}\).

(b) \(\lambda^3=1\): \(\lambda_k=e^{2\pi ik/3}\), \(k=0,1,2\). Собственные векторы \(\begin{pmatrix}1\\\lambda_k\\\lambda_k^2\end{pmatrix}\).

(c) \(\lambda=e^{\pm i\theta}\), векторы \(\begin{pmatrix}1\\\mp i\end{pmatrix}\).

4.22. Диагонализуемость над \(\mathbb{R}\) и над \(\mathbb{C}\) (Домашнее задание 7, Задание 3.3)

Пусть \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}1&i\\0&1\end{pmatrix}\).

(a) Собственные значения \(A\) и \(B\). (b) Все собственные векторы. (c) Диагонализуема ли хотя бы одна из матриц? (d) Что это говорит о связи диагонализуемости с полем?

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a) Обе верхнетреугольные с диагональю \((1,1)\): \(\lambda=1\) кратности \(2\).

(b) Для \(A\): \((A-I)\) даёт только \(\begin{pmatrix}t\\0\end{pmatrix}\). Для \(B\): аналогично — одномерное собственное подпространство.

(c) Нужно два независимых собственных вектора, есть один: ни одна не диагонализуема ни над \(\mathbb{R}\), ни над \(\mathbb{C}\).

(d) Переход к \(\mathbb{C}\) гарантирует существование собственных значений, но не устраняет дефектность (defective) матрицы; диагонализуемость определяется равенством геометрической и алгебраической кратностей.

4.23. Унитарные матрицы: столбцы, норма, спектр (Домашнее задание 7, Задание 3.4)

Матрица \(U\) унитарна, если \(U^H U = I\).

(a) Докажите, что столбцы унитарной матрицы образуют ортонормированный базис в \(\mathbb{C}^n\).

(b) Докажите \(\|U\mathbf{x}\| = \|\mathbf{x}\|\) для всех \(\mathbf{x}\).

(c) Докажите \(|\lambda| = 1\) для любого собственного значения унитарной матрицы.

(d) Проверьте унитарность \(U = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}\) и найдите её собственные значения.

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a) \((U^H U)_{ij} = \mathbf{u}_i^H \mathbf{u}_j = \delta_{ij}\). \(\square\)

(b) \(\|U\mathbf{x}\|^2 = \mathbf{x}^H U^H U \mathbf{x} = \|\mathbf{x}\|^2\). \(\square\)

(c) из \(U\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\) следует \(|\lambda|=1\). \(\square\)

(d) \(U^HU=I\); \(\lambda = \dfrac{1\pm i}{\sqrt{2}}\), \(|\lambda|=1\).

Ответ: (a)–(c) доказаны; (d) как выше.

4.24. Сопряжённый транспонат и эрмитовы матрицы (Домашнее задание 7, Задание 3.5)

Для \(A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\):

(a) Найдите \(A^H\) и \(A^T\). Совпадают ли они? Почему?

(b) Докажите \((A^H)^H = A\).

(c) Докажите \((AB)^H = B^H A^H\) для согласованных \(A\), \(B\).

(d) Приведите пример эрмитовой \(2\times2\) с комплексными элементами.

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a) Все элементы вещественны: \(A^H = A^T = \begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\).

(b) двойное сопряжённое транспонирование возвращает \(A\). \(\square\)

(c) покомпонентное вычисление даёт \((AB)^H = B^H A^H\). \(\square\)

(d) например \(\begin{pmatrix}2&1+i\\1-i&3\end{pmatrix}\).

4.25. Диагонализуемость (Домашнее задание 7, Задание 4.1)

Для каждой матрицы установите, диагонализуема ли она; если да, найдите \(P\) и \(D\) с \(P^{-1}AP = D\).

(a) \(A=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}\), (b) \(B=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\), (c) \(C=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}\), (d) \(D=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}\)

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a) Да. Простой спектр \(\{3,2\}\).

\(P=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\), \(D=\begin{pmatrix}3&0\\0&2\end{pmatrix}\).

(b) Нет. \(\lambda=2\) кратности \(2\), но \(\dim\ker(B-2I)=1\).

(c) Да. Различные \(\{1,2,3\}\) на диагонали.

\(P=\begin{pmatrix}2&0&0\\-2&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}\), \(D=\text{diag}(1,2,3)\).

(d) Нет. \(\lambda=2\) кратности \(3\), \(\dim\ker(D-2I)=1\).

4.26. Теорема о диагонализации (Домашнее задание 7, Задание 4.2)

Сформулируйте и докажите: \(A\) диагонализуема \(\iff\) у неё есть \(n\) линейно независимых собственных векторов. Объясните: (a) различные собственные значения \(\Rightarrow\) диагонализуемость; (b) кратные собственные значения не исключают диагонализацию; (c) кратные значения могут помешать.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Теорема: \(A\in\mathbb{F}^{n\times n}\) диагонализуема тогда и только тогда, когда существует базис из \(n\) собственных векторов.

(\(\Rightarrow\)): из \(P^{-1}AP=D\) следует \(AP=PD\), столбцы \(P\) — собственные векторы, \(\det P\neq 0\). \(\square\)

(\(\Leftarrow\)): собрать \(P\) из векторов, \(D=\text{diag}(\lambda_i)\). \(\square\)

(a) векторы для различных \(\lambda\) линейно независимы.

(b) при полном собственном подпространстве (как у \(I\)) кратность не мешает.

(c) пример \(B=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\): одномерное собственное подпространство при кратности \(2\).

4.27. Вычисление \(A^5\) через диагонализацию (Домашнее задание 7, Задание 4.3)

Матрица \(A\) размера \(3\times3\) имеет собственные значения \(\lambda=2,2,3\) и собственные векторы \(\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\), \(\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\), \(\mathbf{v}_3=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\).

(a) Диагонализуема ли \(A\)? (b) Найдите \(P\) и \(D\). (c) Вычислите \(A^5\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a) Три линейно независимых собственных вектора — да, диагонализуема.

(b)

\[P=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\]

(c) \(A^5=PD^5P^{-1}\), \(\det(P)=-2\),

\[P^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix},\quad D^5=\text{diag}(32,32,243)\]

Ответ: \(A^5\) получается подстановкой в формулу \(PD^5P^{-1}\).

4.28. Ортогональная диагонализация симметрической матрицы (Домашнее задание 7, Задание 4.4)

Пусть \(A=\begin{pmatrix}4&2\\2&4\end{pmatrix}\).

(a) Собственные значения и векторы. (b) Проверьте ортогональность собственных векторов для различных \(\lambda\). (c) Найдите ортогональную \(Q\) (\(Q^T=Q^{-1}\)), диагонализующую \(A\). (d) Какое свойство нужно \(A\) для ортогональной диагонализации?

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a) \((\lambda-6)(\lambda-2)=0\); \(\lambda=6\): \(\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\); \(\lambda=2\): \(\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\).

(b) скалярное произведение \((1,1)\cdot(1,-1)=0\) ✓.

(c) \(Q=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\), \(Q^TAQ=\text{diag}(6,2)\).

(d) вещественная матрица ортогонально диагонализуема тогда и только тогда, когда она симметрична (\(A=A^T\)). Над \(\mathbb{C}\) аналог — эрмитовость (\(A=A^H\)) и унитарная диагонализация (Spectral Theorem).

4.29. Матрицы с заданными спектральными свойствами (Домашнее задание 7, Задание 4.5)

В каждом пункте постройте пример или объясните, почему это невозможно:

(a) \(2\times2\) с собственными значениями \(2\) и \(3\), не диагонализуемая.

(b) \(3\times3\) со спектром \(1,1,2\), диагонализуемая.

(c) \(3\times3\) со спектром \(1,1,2\), не диагонализуемая.

(d) \(2\times2\) без вещественных собственных значений, диагонализуемая над \(\mathbb{C}\).

(e) \(2\times2\) без вещественных собственных значений, диагонализуемая над \(\mathbb{R}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a) Невозможно: при простом спектре всегда есть базис из собственных векторов.

(b) Возможно: \(A=\text{diag}(1,1,2)\).

(c) Возможно: \(\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}\) — у \(\lambda=1\) геометрическая кратность \(1<2\).

(d) Возможно: поворот \(R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\), \(\lambda=\pm i\); над \(\mathbb{C}\) простой спектр.

(e) Невозможно: над \(\mathbb{R}\) диагональ \(D\) вещественна, значит, нужны вещественные собственные значения.

4.30. Многочлен от диагонализуемой матрицы (Домашнее задание 7, Задание 4.6)

Пусть \(A\) диагонализуема, \(p(t)\) — многочлен.

(a) Докажите, что \(p(A)\) тоже диагонализуема.

(b) Если \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) — спектр \(A\), чему равны собственные значения \(p(A)\)?

(c) Найдите спектр \(A^3-2A+I\) для \(A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\) без умножения матриц.

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a) \(A=PDP^{-1}\Rightarrow p(A)=Pp(D)P^{-1}\), \(p(D)\) диагональна. \(\square\)

(b) \(p(\lambda_1),\ldots,p(\lambda_n)\).

(c) \(\lambda=2,3\); \(p(2)=5\), \(p(3)=22\).

Ответ: (a) доказано; (b) \(p(\lambda_i)\); (c) \(5\) и \(22\).

4.31. Одновременная диагонализация (Домашнее задание 7, Задание 5.1)

Докажите: если \(A\) и \(B\) диагонализуемы и \(AB=BA\), то существует обратимая \(P\) такая, что \(P^{-1}AP\) и \(P^{-1}BP\) одновременно диагональны.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Идея: \(B\) инвариантно действует на собственные подпространства \(A\); внутри каждого диагонализуемо ограничение \(B|_{E_\lambda}\).

Набросок: из \(AB=BA\) следует \(B(E_{\lambda_i})\subseteq E_{\lambda_i}\); склеить базисы из кусков. \(\square\)

4.32. Спектральное разложение (Домашнее задание 7, Задание 5.2)

Пусть \(A\) размера \(n\times n\) имеет \(n\) линейно независимых собственных векторов \(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\) и значения \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\). Пусть строки \(P^{-1}\) — это \(\mathbf{w}_1^H,\ldots,\mathbf{w}_n^H\) (левые собственные векторы).

(a) Докажите \(A = \sum_{i=1}^n \lambda_i\mathbf{v}_i\mathbf{w}_i^H\).

(b) Как \(\mathbf{w}_i\) связаны с собственными векторами \(A^H\)?

(c) Проверьте для \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a) из \(A=PDP^{-1}\) получаем спектральное разложение (spectral decomposition) \(A=\sum \lambda_i\mathbf{v}_i\mathbf{w}_i^H\). \(\square\)

(b) \(\mathbf{w}_i^H A=\lambda_i\mathbf{w}_i^H\Leftrightarrow A^H\mathbf{w}_i=\overline{\lambda_i}\mathbf{w}_i\).

(c) для симметричной \(A\) можно взять ортонормированные \(\mathbf{v}_i=\mathbf{w}_i\) и получить явную сумму ранга \(1\), совпадающую с \(A\). \(\checkmark\)

4.33. Теорема Кэли–Гамильтона (Домашнее задание 7, Задание 5.3)

(a) Проверьте теорему Кэли–Гамильтона для \(A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\).

(b) По Кэли–Гамильтону найдите \(A^{-1}\) для \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\).

(c) Объясните, почему теорема верна для диагонализуемой матрицы.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Теорема Кэли–Гамильтона (Cayley–Hamilton): если \(p(\lambda)=\det(A-\lambda I)\), то \(p(A)=0\).

(a) \(p(\lambda)=(\lambda-2)^2\), прямое вычисление даёт \(p(A)=0\). \(\checkmark\)

(b) \(A^2-4A+3I=0\Rightarrow A^{-1}=\frac{4I-A}{3}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}\) ✓.

(c) \(A=PDP^{-1}\Rightarrow p(A)=Pp(D)P^{-1}\), на диагонали \(p(\lambda_i)=0\). \(\square\)

4.34. Операции с комплексными векторами (Лекция 7, Пример 1)

Пусть \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 + i \\ -3i \end{bmatrix}\), \(\mathbf{w} = \begin{bmatrix} 1 - i \\ 2 \end{bmatrix}\), \(\alpha = 2i\).

(a) Вычислите \(\mathbf{v} + \mathbf{w}\).

(b) Вычислите \(\alpha\mathbf{v}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: сложение и умножение на скаляр покомпонентны; \(i^2=-1\).

(a)

\[\mathbf{v} + \mathbf{w} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 - 3i \end{bmatrix}\]

(b)

\[\alpha\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -2 + 4i \\ 6 \end{bmatrix}\]

Ответ: (a) и (b) как выше.

4.35. Норма комплексного вектора (Лекция 7, Пример 2)

Найдите норму \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 + i \\ 2 - i \end{bmatrix}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: \(\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\sum |v_i|^2}\), \(|a+bi|^2=a^2+b^2\).

\[\|\mathbf{v}\| = \sqrt{2+5}=\sqrt{7}\]

Ответ: \(\|\mathbf{v}\| = \sqrt{7}\)

4.36. Унитарная матрица и её спектр (Лекция 7, Пример 3)

Проверьте, что \(U = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{bmatrix}\) унитарна, и найдите собственные значения.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: унитарность — \(U^H U = I\); у унитарной матрицы \(|\lambda|=1\).

\[U^H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & -i \\ -i & 1 \end{bmatrix},\quad U^HU=I \quad \checkmark\]

\[\lambda^2 - \sqrt{2}\,\lambda + 1 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1\pm i}{\sqrt{2}},\quad |\lambda|=1\]

Ответ: \(U\) унитарна; \(\lambda = \dfrac{1\pm i}{\sqrt{2}}\).

4.37. Действия с комплексными числами (Лекция 7, Задание 1)

Найдите сумму и произведение для каждой пары:

(a) \(2 + i\) и \(2 - i\)

(b) \(-1 + i\) и \(-1 + i\)

(c) \(\cos\theta + i\sin\theta\) и \(\cos\theta - i\sin\theta\)

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: в (c) удобно писать \(e^{\pm i\theta}\).

(a) сумма \(4\), произведение \(5\).

(b) сумма \(-2+2i\), произведение \(-2i\).

(c) сумма \(2\cos\theta\), произведение \(1\).

Ответ: как в строках выше.

4.38. Число и его сопряжение (Лекция 7, Задание 2)

Пусть \(z = a + ib\). Упростите:

(a) \(z + \bar{z}\)

(b) \(z - \bar{z}\)

(c) \(z \cdot \bar{z}\)

(d) \(z / \bar{z}\) (\(\bar{z} \neq 0\)). Чему равен \(|z/\bar{z}|\)?

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a) \(2\,\text{Re}(z)\); (b) \(2i\,\text{Im}(z)\); (c) \(|z|^2\); (d) \(|z/\bar{z}|=1\), точка \(z/\bar{z}\) на единичной окружности.

Ответ: как в (a)–(d).

4.39. Нормы и скалярное произведение (Лекция 7, Задание 3)

Для \(\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1+i \\ 1-i \\ 1+2i \end{pmatrix}\) и \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} i \\ i \\ i \end{pmatrix}\) найдите:

(a) \(\|\mathbf{u}\|\) и \(\|\mathbf{v}\|\)

(b) \(\mathbf{u}^H\mathbf{v}\) и \(\mathbf{v}^H\mathbf{u}\)

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a) \(\|\mathbf{u}\|=3\), \(\|\mathbf{v}\|=\sqrt{3}\).

(b) \(\mathbf{u}^H\mathbf{v}=2+3i\), \(\mathbf{v}^H\mathbf{u}=\overline{\mathbf{u}^H\mathbf{v}}=2-3i\) — сопряжённая симметрия эрмитова произведения.

Ответ: как в (a), (b).

4.40. Классификация матрицы и степени (Лекция 7, Задание 4)

Рассмотрите \(P = \begin{pmatrix} 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & i \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}\).

(a) Эрмитова ли \(P\), обратима ли, унитарна ли?

(b) Найдите \(P^2\), \(P^3\) и \(P^{100}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: сравнить \(P\) и \(P^H\); для степеней использовать \(P^3=-iI\).

(a) \(P^H\neq P\) — не эрмитова; \(PP^H=I\) — унитарна, следовательно обратима.

(b) \(P^3=-iI\), \(P^{100}=-iP\) (как в лабораторном варианте).

Ответ: унитарна, не эрмитова; степени как выше.

4.41. Степени матрицы через диагонализацию (Лекция 7, Задание 5)

Пусть \(B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\). Диагонализуйте \(B\) и докажите \[B^k = \begin{pmatrix} 3^k & 3^k - 2^k \\ 0 & 2^k \end{pmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

\(\lambda=3,2\), \(S=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\), \(S^{-1}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\), подстановка в \(S\Lambda^kS^{-1}\) даёт нужную формулу ✓.

Ответ: формула верна.

4.42. Вторая строка из следа и определителя (Лекция 7, Задание 6)

Подберите вторую строку \(A\) так, чтобы собственные значения были \(4\) и \(7\): \[A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \square & \square \end{pmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

След \(11\) и определитель \(28\) дают вторую строку \((-18,\,10)\), характеристический многочлен \((\lambda-4)(\lambda-7)\) ✓.

Ответ: \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -18 & 10 \end{pmatrix}\).

4.43. Матрица по спектральным данным (Лекция 7, Задание 7)

Восстановите \(A\) по \(\lambda_1=1\), \(\lambda_2=4\) и векторам \((3,1)^T\), \((2,1)^T\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

\(A=S\Lambda S^{-1}=\begin{pmatrix}-5&18\\-3&10\end{pmatrix}\); проверка на \((3,1)^T\) ✓.

Ответ: матрица \(A\) как выше.

4.44. Комплексные числа в полярной форме (Лекция 7, Задание 8)

Пусть \(x=re^{i\theta}\). Запишите \(x^2\), \(x^{-1}\), \(\bar{x}\) в полярной форме. Когда \(x^{-1}=\bar{x}\)?

Нажмите, чтобы увидеть решение

\(x^2=r^2e^{2i\theta}\), \(x^{-1}=r^{-1}e^{-i\theta}\), \(\bar{x}=re^{-i\theta}\); равенство \(x^{-1}=\bar{x}\) \(\Leftrightarrow\) \(|x|=1\).

Ответ: как выше.

4.45. Матрица \(A^H\) и эрмитовость \(A^H A\) (Лекция 7, Задание 9)

Пусть \(A = \begin{bmatrix} 1 & i & 0 \\ i & 0 & 1 \end{bmatrix}\).

(a) Найдите \(A^H\) и \(C=A^H A\).

(b) Как связаны \(C\) и \(C^H\)?

Нажмите, чтобы увидеть решение

\(A^H=\begin{bmatrix}1&-i\\-i&0\\0&1\end{bmatrix}\), \(C=\begin{bmatrix}2&i&-i\\-i&1&0\\i&0&1\end{bmatrix}\); всегда \((A^HA)^H=A^HA\), здесь \(C\) эрмитова.

Ответ: \(C=C^H\).

4.46. Ядро и ортогональность (Лекция 7, Задание 10)

Для \(A = \begin{bmatrix} 1 & i & 0 \\ i & 0 & 1 \end{bmatrix}\):

(a) решите \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) исключением;

(b) покажите \(\mathcal{N}(A)\perp\mathcal{R}(A^H)\), но не обязательно \(\mathcal{N}(A)\perp\mathcal{R}(A^T)\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a) \(\mathcal{N}(A)=\mathrm{span}\{(-i,1,-1)^T\}\).

(b) \(\mathbf{n}^H\mathbf{c}_j=0\) для столбцов \(A^H\); для \(\mathbf{r}_1=(1,i,0)^T\) из \(A^T\) получаем \(\mathbf{n}^H\mathbf{r}_1=2i\neq0\).

Ответ: в комплексном случае ортогональное дополнение к ядру даёт \(A^H\), а не \(A^T\).

4.47. Подобие пар матриц (Лекция 7, Задание 11)

Укажите \(M\) с \(B=M^{-1}AM\):

(a) \(A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\), \(B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)

(b) \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\), \(B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\)

(c) \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\), \(B = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\)

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a) \(M=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}\); (b) \(M=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\); (c) \(M=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\) (\(B=A^T=P^{-1}AP\)).

Ответ: матрицы \(M\) как выше.

4.48. Ортонормированный базис и матрица проекции (Повторение перед зачётом, Задание 1)

Векторы \(u = [1, 1, 1]^T\) и \(v = [1, 2, 3]^T\), матрица \(A = [u \ v]\).

(a) Ортонормированный базис в \(\text{Col}(A)\) (column space).

(b) Матрица проекции \(P = A(A^TA)^{-1}A^T\).

(c) Проекция \(b = [0, 0, 1]^T\) на \(\text{Col}(A)\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Грама–Шмидт по столбцам \(A\), затем стандартная формула проекции на \(\text{Col}(A)\).

(a) Процесс Gram–Schmidt (ортогонализация Грама–Шмидта):

Нормировка \(u\): \[\bar{u} = u = [1, 1, 1]^T \Rightarrow q_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}[1, 1, 1]^T\]
Вычитание проекции \(v\) на \(\bar{u}\): \[\bar{v} = v - \frac{v^T\bar{u}}{\bar{u}^T\bar{u}}\bar{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} - \frac{6}{3}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]
Нормировка \(\bar{v}\): \(q_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}[-1, 0, 1]^T\)

Ответ (a): ортонормированный базис \(\text{Col}(A) = \text{span}\left\{ \begin{bmatrix} 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \end{bmatrix},\ \begin{bmatrix} -1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix} \right\}\)

(b) Вычислим \(A^TA\): \[A^TA = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 6 & 14 \end{bmatrix}\]

\(\det = 6\), \((A^TA)^{-1} = \frac{1}{6}\begin{bmatrix} 14 & -6 \\ -6 & 3 \end{bmatrix}\),

\(P\): \[P = \frac{1}{6}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 14 & -6 \\ -6 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{6}\begin{bmatrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{bmatrix}\]

Ответ (b): \(P = \dfrac{1}{6}\begin{bmatrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{bmatrix}\)

(c) \(Pb\): \[Pb = \frac{1}{6}\begin{bmatrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{6}\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}\]

Ответ (c): \(\dfrac{1}{6}\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}\)

4.49. Прямая по МНК (Повторение перед зачётом, Задание 2)

Точки \((t,y)\): \((1,1), (2,3), (3,4), (4,4)\). Подберите прямую \(y = C + Dt\) методом наименьших квадратов (least squares).

(a) Система \(Ax=b\).

(b) Нормальное уравнение \(A^TAx=A^Tb\).

(c) Значение \(y(5)\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: МНК минимизирует \(\|Ax-b\|^2\); коэффициенты удовлетворяют \(A^TA\hat{x}=A^Tb\).

(a) Подстановка точек в \(y=C+Dt\):

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C \\ D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \\ 4 \end{bmatrix}\]

(b) \(A^TA\) и \(A^Tb\): \[A^TA = \begin{bmatrix} 4 & 10 \\ 10 & 30 \end{bmatrix}, \quad A^Tb = \begin{bmatrix} 12 \\ 35 \end{bmatrix}\]

\(\det(A^TA)=20\), \((A^TA)^{-1} = \frac{1}{20}\begin{bmatrix} 30 & -10 \\ -10 & 4 \end{bmatrix}\),

\[\begin{bmatrix} C \\ D \end{bmatrix} = \frac{1}{20}\begin{bmatrix} 30 & -10 \\ -10 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 12 \\ 35 \end{bmatrix} = \frac{1}{20}\begin{bmatrix} 10 \\ 20 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Прямая: \(y = 0{,}5 + t\).

(c) \(y(5)=5{,}5\).

Ответ: \(C=0{,}5\), \(D=1\), \(y(5)=5{,}5\).

4.50. Линейная система со свободными переменными (Повторение перед зачётом, Задание 3)

Решите систему: \[\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: привести расширенную матрицу к ступенчатому виду (RREF), выделить pivot- и free-переменные, затем записать общее решение.

Элементарные преобразования строк расширенной матрицы (из третьей строки вычесть первую): \[\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\]
Переменные: базисные (pivot): \(x, z\); свободные: \(y, w \in \mathbb{R}\).
Базисные через свободные: \[\begin{cases} x = 1 - 3y - 2w \\ z = 2 - 4w \end{cases}\]
Общее решение: \[\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + w\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad y, w \in \mathbb{R}\]

Ответ: общее решение — частное решение плюс линейная комбинация двух направлений из ядра, как выше.

4.51. Собственные значения и векторы трёхдиагональной матрицы (Повторение перед зачётом, Задание 4)

Найдите eigenvalues и eigenvectors матрицы \[A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Характеристическое уравнение \(\det(A - \lambda I) = 0\): \[(4-\lambda)\left[(4-\lambda)^2 - 1\right] - (4-\lambda) = (4-\lambda)\left[(4-\lambda)^2 - 2\right] = 0\]
Собственные значения:
- \(4 - \lambda = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 4\)
- \((4-\lambda)^2 = 2 \Rightarrow \lambda_{2,3} = 4 \pm \sqrt{2}\)
Спектр: \(\Lambda = \{4,\ 4+\sqrt{2},\ 4-\sqrt{2}\}\)
Собственные векторы из \(Null(A - \lambda_i I)\):

Для \(\lambda_1 = 4\): \[\begin{cases} y = 0 \\ x + z = 0 \end{cases} \Rightarrow \vec{x}_1 = \alpha\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Для \(\lambda_2 = 4 + \sqrt{2}\): \[\begin{cases} y = \sqrt{2}x \\ x = z \end{cases} \Rightarrow \vec{x}_2 = \beta\begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 1 \\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}\]

Для \(\lambda_3 = 4 - \sqrt{2}\): \[\vec{x}_3 = \gamma\begin{bmatrix} -1/\sqrt{2} \\ 1 \\ -1/\sqrt{2} \end{bmatrix}\]

Ответ: \(\lambda \in \{4,\ 4\pm\sqrt{2}\}\); собственные векторы — как выше (с произвольными ненулевыми \(\alpha,\beta,\gamma\)).

4.52. Четыре подпространства матрицы ранга 1 (Повторение перед зачётом, Задание 5)

Дана \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\):

(a) Найдите \(Null(A)\) и \(Col(A)\) (null space, column space).

(b) Найдите \(Null(A^T)\) и \(Col(A^T)\).

(c) Проверьте ортогональность соответствующих пар fundamental subspaces.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: для любой \(A\) выполняется \(Null(A) \perp Col(A^T)\) и \(Null(A^T) \perp Col(A)\) (стандартное скалярное произведение в \(\mathbb{R}^n\)).

(a) Приведение \(A\) к ступенчатому виду: \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\). Один pivot: \(x + 2y = 0 \Rightarrow x = -2y\).

\[Null(A) = \text{span}\left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}\]

Условие совместности \(Ax = b\): \(b_2 = 2b_1\) и \(b_3 = 0\), откуда \[Col(A) = \text{span}\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}\]

(b) Так как \(A\) симметрична (\(A = A^T\)): \[Null(A^T) = Null(A), \quad Col(A^T) = Col(A)\]

(c) Проверка \(Null(A) \perp Col(A)\): \[[-2,\ 1,\ 0]\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} = -2 + 2 + 0 = 0 \checkmark\] \[[0,\ 0,\ 1]\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} = 0 \checkmark\]

Ответ: ортогональность для всех указанных пар подпространств выполняется.

4.53. Комплексная матрица и эрмитово сопряжение (Повторение перед зачётом, Задание 6)

Даны \(A = \begin{bmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{bmatrix}\) и \(b = \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix}\):

(a) Решите \(A\vec{x} = \vec{b}\) при \(\vec{x} \in \mathbb{C}^2\).

(b) Найдите \(Null(A)\), \(Col(A)\), \(Null(A^+)\), \(Col(A^+)\), где \(A^+ = \bar{A}^T\) — Hermitian conjugate.

(c) Проверьте ортогональность в комплексном скалярном произведении \(x^* y = \sum_j x_j \overline{y_j}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: в \(\mathbb{C}^n\) ортогональность задаётся эрмитовым скалярным произведением: \(\langle u, v \rangle = u^+ v = \sum_j \bar{u}_j v_j\).

(a) Система: \[\begin{cases} x_1 + x_2 i = 1 \\ i x_1 - x_2 = i \end{cases}\]

Подстановка первого уравнения во второе даёт тождество \(i = i\), значит \(x_2 \in \mathbb{C}\) свободна: \[\vec{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} -i \\ 1 \end{bmatrix}, \quad x_2 \in \mathbb{C}\]

(b)

\(Null(A)\): \(x_1 + x_2 i = 0 \Rightarrow x_1 = -x_2 i\), откуда \(Null(A) = \text{span}\left\{\begin{bmatrix} -i \\ 1 \end{bmatrix}\right\}\)

\(Col(A) = \text{span}\left\{\begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix}\right\}\)

Эрмитово сопряжение: \(A^+ = \begin{bmatrix} 1 & -i \\ -i & -1 \end{bmatrix}\)

\(Null(A^+)\): \(x_1 - x_2 i = 0 \Rightarrow x_1 = x_2 i\), откуда \(Null(A^+) = \text{span}\left\{\begin{bmatrix} i \\ 1 \end{bmatrix}\right\}\)

\(Col(A^+) = \text{span}\left\{\begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix}\right\}\)

(c) Проверка \(Null(A^+) \perp Col(A)\): \[\begin{bmatrix} i \\ 1 \end{bmatrix}^+ \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} = \bar{i}\cdot 1 + \bar{1}\cdot i = (-i)(1) + (1)(i) = -i + i = 0 \checkmark\]

Проверка \(Null(A) \perp Col(A^+)\): \[\begin{bmatrix} -i \\ 1 \end{bmatrix}^+ \begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix} = \overline{(-i)}\cdot 1 + \bar{1}\cdot(-i) = i - i = 0 \checkmark\]

Ответ: ортогональность выполняется для обеих пар.

4.54. Неоднородная система и ядро (Повторение перед зачётом, Задание 7)

Решите неоднородную систему и найдите null space матрицы коэффициентов: \[\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 4 & 1 \\ 3 & -3 & 6 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: общее решение \(Ax = b\) имеет вид \(x = x_p + x_h\), где \(x_p\) — частное решение, \(x_h \in Null(A)\).

Приведение строк расширенной матрицы: \[\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & -2 & 4 & 1 & 3 \\ 3 & -3 & 6 & 1 & 4 \end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\]
Переменные: pivot: \(x, w\); свободные: \(y, z \in \mathbb{R}\).
Базисные через свободные: \[\begin{cases} x = 1 + y - 2z \\ w = 1 \end{cases}\]
Общее решение: \[\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}_{x_p} + y\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad y, z \in \mathbb{R}\]

Ядро: \[Null(A) = \text{span}\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\ \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}\]

4.55. Четыре фундаментальных подпространства (Зачёт 2026, Задание 1)

Пусть \[A = \begin{pmatrix} 4 & 5 & -2 & 6 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.\]

(a) Найдите четыре fundamental subspaces матрицы \(A\).

(b) Проверьте ортогональность соответствующих пар.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: это \(Col(A)\), \(Null(A)\), \(Row(A) = Col(A^T)\) и \(Null(A^T)\); при стандартном скалярном произведении \(Row(A) \perp Null(A)\) и \(Col(A) \perp Null(A^T)\).

(a) Приведение \(A\) к RREF:

\[A = \begin{pmatrix} 4 & 5 & -2 & 6 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]

Перестановка строк (или \(R_1 \leftarrow R_1 - 4R_2\)):

\[\sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 5 & -2 & 6 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - 4R_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 - R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}\]

Базисные столбцы: 1 и 2. Свободные переменные: \(x_3, x_4, x_5\).

\(Col(A)\) — column space: натянуто на pivot-столбцы исходной \(A\): \[Col(A) = \text{span}\left\{ \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} = \mathbb{R}^2\]

У \(A\) две pivot-строки, \(\text{rank}(A) = 2\), поэтому \(Col(A) = \mathbb{R}^2\).

\(Null(A)\) — из RREF выражаем базисные координаты: \[x_1 = -2x_3 + x_4, \quad x_2 = 2x_3 - 2x_4\]

Подставляя \((x_3, x_4, x_5) = (1,0,0),\ (0,1,0),\ (0,0,1)\):

\[Null(A) = \text{span}\left\{ \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}\]

\(Row(A)\) — row space: натянуто на ненулевые строки RREF: \[Row(A) = \text{span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}\]

\(Null(A^T)\) — left null space: \(A^T y = 0\); \(A\) имеет размер \(2\times 5\), значит \(A^T\) — \(5\times 2\). Нужны \(y \in \mathbb{R}^2\) с \(A^T y = 0\), т.е. \(y^T A = 0\). Так как \(\text{rank}(A) = 2 = m\), матрица \(A\) полного ранга по строкам, поэтому \(Null(A^T) = \{0\}\).

(b) Проверка ортогональности:

\(Row(A) \perp Null(A)\): скалярные произведения базисных векторов \(Null(A)\) с базисными строками (как векторами в \(\mathbb{R}^5\)):

\[\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = -2 + 0 + 2 + 0 + 0 = 0 \checkmark\]

\[\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 + 0 + 0 - 1 + 0 = 0 \checkmark\]

\[\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \checkmark\]

\[\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 + 2 - 2 + 0 + 0 = 0 \checkmark\]

\[\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 - 2 + 0 + 2 + 0 = 0 \checkmark\]

\[\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \checkmark\]

\(Col(A) \perp Null(A^T)\): так как \(Null(A^T) = \{0\}\), соотношение выполняется тривиально.

Ответ: \(Col(A) = \mathbb{R}^2\); \(Null(A) = \text{span}\left\{\begin{pmatrix}-2\\2\\1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-2\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\1\end{pmatrix}\right\}\); \(Row(A) = \text{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\2\\-1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\-2\\2\\0\end{pmatrix}\right\}\); \(Null(A^T) = \{0\}\). Ортогональность проверена.

4.56. Прямая МНК через нормальные уравнения (Зачёт 2026, Задание 2)

По normal equations найдите прямую least squares \(y = ax + b\) для точек \[(1,2),\ (2,4),\ (3,5),\ (4,4),\ (5,6).\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: записать переопределённую систему \(X\beta = y\), где в \(X\) — столбец значений \(x\) и столбец единиц; затем решить \(X^T X \hat{\beta} = X^T y\).

Матрица \(X\) и вектор \(y\): \[X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 3 & 1 \\ 4 & 1 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}, \quad y = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 5 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}\]
Вычисление \(X^T X\): \[X^T X = \begin{pmatrix} 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2 & 1+2+3+4+5 \\ 1+2+3+4+5 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 55 & 15 \\ 15 & 5 \end{pmatrix}\]
Вычисление \(X^T y\): \[X^T y = \begin{pmatrix} 1\cdot2+2\cdot4+3\cdot5+4\cdot4+5\cdot6 \\ 2+4+5+4+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+8+15+16+30 \\ 21 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 71 \\ 21 \end{pmatrix}\]
Решение нормальных уравнений \(\begin{pmatrix}55 & 15\\15 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}71\\21\end{pmatrix}\):

Из второго: \(15a + 5b = 21 \Rightarrow b = \frac{21 - 15a}{5}\).

Подстановка в первое: \(55a + 15 \cdot \frac{21-15a}{5} = 71\) \[55a + 3(21-15a) = 71 \Rightarrow 55a + 63 - 45a = 71 \Rightarrow 10a = 8 \Rightarrow a = 0.8\] \[b = \frac{21 - 15(0.8)}{5} = \frac{21 - 12}{5} = \frac{9}{5} = 1.8\]

Ответ: прямая МНК: \(y = 0.8x + 1.8\).

4.57. Собственные значения, векторы и степень матрицы (Зачёт 2026, Задание 3)

Пусть \[A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}.\]

(a) Найдите eigenvalues и eigenvectors матрицы \(A\).

(b) Вычислите \(A^3 - A\).

(c) Убедитесь, что собственные векторы ортогональны.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: у симметричной матрицы собственные числа вещественны, а собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Для степеней удобна диагонализация \(A = PDP^{-1}\).

(a) Собственные значения: \(\det(A - \lambda I) = 0\): \[(4-\lambda)^2 - 4 = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 8\lambda + 12 = 0 \Rightarrow (\lambda-6)(\lambda-2) = 0\] \[\lambda_1 = 6, \quad \lambda_2 = 2\]

Собственные векторы:

Для \(\lambda_1 = 6\): \((A - 6I)v = 0\): \[\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \rightarrow v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Для \(\lambda_2 = 2\): \((A - 2I)v = 0\): \[\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \rightarrow v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\]

(b) Вычисление \(A^3 - A\):

При \(A = PDP^{-1}\) имеем \(A^k = PD^kP^{-1}\), поэтому \[A^3 - A = P(D^3 - D)P^{-1}\]

\[D^3 - D = \begin{pmatrix} 6^3 - 6 & 0 \\ 0 & 2^3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 210 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}\]

С \(P = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}\), \(P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}\):

\[A^3 - A = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}210 & 0\\0 & 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & -1\end{pmatrix}\]

\[= \frac{1}{2}\begin{pmatrix}210 & 6\\210 & -6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & -1\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}216 & 204\\204 & 216\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}108 & 102\\102 & 108\end{pmatrix}\]

(c) Ортогональность: \[v_1 \cdot v_2 = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}^T\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} = 1\cdot1 + 1\cdot(-1) = 0 \checkmark\]

Ответ: (a) \(\lambda_1 = 6\), \(v_1 = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\); \(\lambda_2 = 2\), \(v_2 = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\). (b) \(A^3 - A = \begin{pmatrix}108 & 102\\102 & 108\end{pmatrix}\). (c) \(v_1 \cdot v_2 = 0\) — векторы ортогональны.

4.58. Решение линейной системы (Зачёт 2026, Задание 4)

Решите систему \[\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 = 5, \\ 2x_1 + 4x_2 + 6x_3 + 8x_4 = 10, \\ x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 4. \end{cases}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: привести расширенную матрицу к RREF, выделить pivot- и свободные переменные; общее решение = частное + ядро.

Расширенная матрица и элементарные преобразования: \[\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 2 & 3 & 4 \end{array}\right]\]

\(R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1\), \(R_3 \leftarrow R_3 - R_1\): \[\sim \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 \end{array}\right]\]

\(R_2 \leftrightarrow R_3\), затем \(R_2 \leftarrow -R_2\): \[\sim \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\]

\(R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2\): \[\sim \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\]
Переменные: pivot: \(x_1, x_3\); свободные: \(x_2 = s\), \(x_4 = t\).
Базисные через свободные: \[x_3 = 1 - t, \quad x_1 = 2 - 2s - t\]
Общее решение: \[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\0\\1\\0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\\1\end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}\]

Ответ: \(x = \begin{pmatrix}2\\0\\1\\0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\\1\end{pmatrix}\), \(s,t \in \mathbb{R}\).

4.59. Матрица проекции и проекция вектора (Зачёт 2026, Задание 5)

Пусть \[A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.\]

(a) Найдите матрицу проекции \(P\) на \(\text{Col}(A)\).

(b) Найдите проекцию \(b\) на \(\text{Col}(A)\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: проекция на \(Col(A)\) задаётся \(P = A(A^T A)^{-1}A^T\); проекция \(b\) — это \(\hat{b} = Pb\).

(a) Вычисление \(A^T A\): \[A^T A = \begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+0+1 & 1+0+0\\ 1+0+0 & 1+1+0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}\]

\((A^T A)^{-1}\): \[\det(A^T A) = 4 - 1 = 3, \quad (A^T A)^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}\]

\(A^T\): \[A^T = \begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}\]

\(P = A(A^T A)^{-1}A^T\):

Сначала \(A(A^T A)^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&1\\-1&2\\2&-1\end{pmatrix}\)

Далее: \[P = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&1\\-1&2\\2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}\]

(b) \(\hat{b} = Pb\): \[\hat{b} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}4\\2\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4/3\\2/3\\2/3\end{pmatrix}\]

Ответ: (a) \(P = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}\). (b) \(\hat{b} = \begin{pmatrix}4/3\\2/3\\2/3\end{pmatrix}\).

4.60. Комплексная матрица: ядро и ортогональность (Зачёт 2026, Задание 6)

Пусть \[A = \begin{pmatrix} i & 1 & i \\ 1 & -i & 0 \end{pmatrix}.\]

(a) Решите \(Ax = 0\).

(b) Докажите, что \(N(A) \perp C(A^H)\), но \(N(A) \not\perp C(A^T)\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: в комплексном случае «фундаментальная теорема» даёт \(N(A) \perp C(A^H)\) при эрмитовом произведении \(\langle u,v \rangle = u^H v\). Для \(A^T\) без сопряжения это уже не гарантируется.

(a) Решение \(Ax = 0\):

Приведение \(A\) над \(\mathbb{C}\): \(R_1 \leftarrow -i\cdot R_1\): \[R_1 \leftarrow -i\cdot R_1: \quad \begin{pmatrix} 1 & -i & 1 \\ 1 & -i & 0 \end{pmatrix}\]

\(R_2 \leftarrow R_2 - R_1\): \[\begin{pmatrix} 1 & -i & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\]

\(R_1 \leftarrow R_1 + R_2\): \[\begin{pmatrix} 1 & -i & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftarrow -R_2} \begin{pmatrix} 1 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

Pivot: \(x_1, x_3\); свободная: \(x_2 = t\).

Из RREF: \(x_3 = 0\), \(x_1 = ix_2 = it\).

\[N(A) = \text{span}\left\{ \begin{pmatrix} i \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}\]

(b) \(N(A) \perp C(A^H)\):

\[A^H = \begin{pmatrix} -i & 1 \\ 1 & i \\ -i & 0 \end{pmatrix}\]

\(C(A^H) = \text{span}\left\{ \begin{pmatrix}-i\\1\\-i\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\i\\0\end{pmatrix} \right\}\)

Пусть \(v = \begin{pmatrix}i\\1\\0\end{pmatrix}\). Проверка \(\langle v, a_1^H \rangle = v^H a_1^H\): \[v^H = \begin{pmatrix}-i & 1 & 0\end{pmatrix}, \quad v^H \begin{pmatrix}-i\\1\\-i\end{pmatrix} = (-i)(-i) + (1)(1) + 0\]

Точнее: \((-i)(-i) = i^2 = -1\), значит \[(-i)(-i) + 1\cdot1 + 0 = -1 + 1 = 0 \checkmark\]

\[v^H \begin{pmatrix}1\\i\\0\end{pmatrix} = (-i)(1) + (1)(i) + 0 = -i + i = 0 \checkmark\]

Следовательно, \(N(A) \perp C(A^H)\). ✓

\(N(A) \not\perp C(A^T)\):

\[A^T = \begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\]

\(C(A^T) = \text{span}\left\{\begin{pmatrix}i\\1\\i\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\-i\\0\end{pmatrix}\right\}\)

В \(\mathbb{C}^n\) используем стандартное эрмитово произведение \(u^H v\). Для того же \(v\) и первого столбца \(A^T\):

\[v^H \begin{pmatrix}i\\1\\i\end{pmatrix} = \overline{i}\cdot i + \overline{1}\cdot 1 + \overline{0}\cdot i = (-i)(i) + 1 + 0 = -i^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \neq 0\]

Значит, \(N(A) \not\perp C(A^T)\) в эрмитовом смысле. ✗

Ответ: (a) \(N(A) = \text{span}\left\{\begin{pmatrix}i\\1\\0\end{pmatrix}\right\}\). (b) \(N(A) \perp C(A^H)\), так как \(v^H\) ортогонален столбцам \(A^H\); при этом \(N(A) \not\perp C(A^T)\), поскольку \(v^H\begin{pmatrix}i\\1\\i\end{pmatrix} = 2 \neq 0\).